POR QUE e POR QUÊ possuem valor de advérbio?

O advérbio expressa uma circunstância (tempo, lugar, modo, causa, intensidade etc.) em relação a um verbo, adjetivo ou outro advérbio.

A expressão por quê (separado e com acento) não é um advérbio por si só, mas acaba exerce essa função. Ela é, em regra, formada pela preposição por + o pronome interrogativo quê e é usada no final de perguntas.

No entanto, o pronome interrogativo por que pode ter valor adverbial quando pergunta pela causa ou pelo motivo de uma ação. Nesse caso, ele equivale a por qual motivo ou por que razão.

Por quê (com acento) aparece no final de perguntas e mantém o mesmo valor semântico de por que: perguntar pela causa ou motivo. 

Assim, pode ser considerado de valor adverbial de causa quando introduz uma pergunta sobre o motivo de um fato, embora a classificação tradicional frequentemente o analise como preposição + pronome interrogativo.

Quando tem valor adverbial?

Quando introduz uma pergunta sobre a causa, funcionando como um advérbio interrogativo de causa.

Exemplos:

Por que você saiu cedo?

→ Pergunta pela causa da saída.

→ Equivale a: Por qual motivo você saiu cedo?

Você saiu cedo por quê?

→ A mesma função, mas no final da frase.

→ O acento aparece porque quê está em posição final.

Não sei por que ele chorou.

→ Equivale a: Não sei por qual motivo ele chorou.

→ Também introduz uma oração interrogativa indireta.

IMPORTANTE

Há duas formas de analisar essas ocorrências:

Gramáticas tradicionais costumam classificar por que como pronome interrogativo precedido da preposição por.

Gramáticas de orientação mais funcional ou linguística reconhecem que, nesses contextos, por que exerce função adverbial, pois modifica o verbo indicando a circunstância de causa.